|
|
|
| В первом случае континуум (проявляется в бесконечной делимости, которая выступает как нечто сугубо неопределенное. Пытаясь внести элемент определенности в сферу бесконечной делимости, континуальная математика пришла к идее точечности. Непротяженная, абстрактная точка выступает как некий предельный элемент бесконечного деления. Причем абстрактная связь этих элементов задается принципом плотного множества и т. д., на чем и основана вся аксиоматика непрерывности от Архимеда до Кантора и Дедекинда. Иная ситуация характерна для атомистической математики: континуум суть «неделимое», связное целое. Здесь <на первый план выдвигается понятие связи и целостности как основы непрерывности. Эта линия в истории математики прослеживается от Демокрита до Г. Вейля, который, в частности, писал, что «подлинный континуум есть нечто в себе связное и не может быть разделен на отдельные куски, подобное разделение противоречит его сущности»70. Подобными свойствами и наделял Демокрит свои амеры, лежащие в основе атомистической математики. Реконструируя систему Демокрита как теорию структурных уровней — физического (атомы и пустота) и математического (амеры), мы с неизбежностью сталкиваемся с двумя типами пространств: непрерывное физическое пространство, т. е. пустота Демокрита, и математическое дискретное пространство, основанное на амерах как масштабных единицах протяжения материи. Наличие двух пространств в системе Демокрита было отмечено еще Э. Франком, .который, собственно, и открыл математический аспект древнегреческой атомистики. В частности, он приходит к выводу, что Демокрит «различает пустое математическое пространство (идеальное пространство геометрии) от реального физического пространства. Математическому пространству (чистому «ничто») он приписывает делимость до бесконечности, тогда как физическое пространство неделимо до бесконечности и состоит из дискретных элементов 70 Г. Вейль. О философии математики. М.—J1., 1934, стр. 123. Мы не касаемся здесь различий (и существенных) между формализмом, логицизмом и интуиционизмом в современной математике. 36 | пространства»71. Здесь мы сталкивается с весьма интересной ситуацией: Э. Франку удалось подметить раздвоение' пространства на физическое и математическое в атомистике Демокрита, однако вскрыть истинный смысл и сущность их соотношения он не сумел. В его представлении физическое и математическое пространства поменялись ролями, причем дело не в терминологических неточностях. Фактически, если следовать логике Э. Франка, -приходится считать, что в системе Демокрита признается непрерывное, бесконечно делимое математическое пространство наряду с математическим атомизмом. Т. е., не пространство, основанное на математических неделимых амерах, выступает математическим, а пустота, чистое «ничто», второе начало физического уровня. Подобное представление было характерно для пифагорейской философии, в системе элементно-точечного атомизма, основанного на двух началах — -пределе и неопределенном. Под пределом какого-либо объекта пифагорейцы подразумевали начало и конец его. Причем пределы суть точки, единицы. Они не состоят из частей и не предполагают ничего прежде себя. Однако, оперируя подобными непротяженными единицами, пифагорейцы не могли сконструировать протяжения — сложение нулей не образует величины. Неопределенное — второе начало пифагореизма — было .призвано разрешить это затруднение. Неопределенное — это промежуток между точками, между непротяженными пределами. Неопределенное— это пустота. Таким образом, пустота, выступая основой протяжения, является математическим пространством, но лишь в математическом атомизме пифагорейцев. Совершенно иная ситуация в атомистике Демокрита, пустота которого, выступая как одно из начал физического уровня, не имеет ничего общего с математикой. В связи с вышеизложенным вскрывается определенная непоследовательность Э. Франка, на что обратил внимание А. О. Маковельский. «Действительно, реальному пространству Демокрит приписывает атомистическое строение,—-пишет он, — отрицая у него непрерывность и бесконечную делимость. 11а этом атомистическом дискретном понимании пространства построена вся математика Демокрита, и говорить, подобно Франку, об 71 Е. Frank. Plato und die sogenannten Pythagoreer, S. 53. 37 |
