|
|
|
| что отражает наличие у них определенной структуры. Здесь физический анализ уступает место анализу теоретическому. Однако и такой анализ, подобное деление имеет свой предел, за которым мы сталкиваемся с объектами совершенно новой качественной определенности, — амеры, математически неделимые объекты, лишенные частей, выступающие как логический предел анализа, граница нашей дедукции, как истинный континуум68. Большой интерес в связи с этим представляет всхпрос о раздвоении проблематики прерывности и непрерывности, обусловленном наличием в древней Греции двух конкурирующих математических направлений: математики континуальной и атомистической. Эта ситуация в значительной мере определила дальнейшее развитие математики, непосредственно связанной с аксиоматикой непрерывности. И в континуальной, и в атомистической математике функционировало общее -понятие прерывности — конечная, ограниченная делимость. Иное дело с непрерывностью, которая выступает как отрицание 'Прерывности. В континуальной математике, исходя из абстрагирования от всего материального, непрерывность выступает как делимость бесконечная, что подчеркивает свойство абстрактной однородности. Что касается атомистической математики, в основе которой лежит амер как пространственный минимум материи, то непрерывность выступает в плане неделимости, что подчеркивает конкретную, физическую однородность. Фемистий, в комментариях к «Физике», касаясь атомистов, писал, что «по их мнению, то, что воистину непрерывно, неделимо»69. 68 Здесь, правда, встает вопрос, как можно представить себе протяженность, пусть минимальную, лишенную частей и формы. Специфичность протяженности амера отмечалась С. Я. Лурье, который считал, что «эта частица, если можно так выразиться, чистое начало, чистый принцип протяженности» (С. #. Лурье. Очерки k по истории античной науки. М.—Л., 1947, стр. 169). Хочется отметить, что за последние две с половиной тысячи лет мало что изменилось в нашем представлении об «атомах» пространства: и сейчас мы, оперируя с элементарной длиной в физических теориях, фактически наделяем ее все тем же свойством отсутствия . частей, из которого вытекают такие свойства, как отсутствие правизны и левизны, временного порядка причины и следствия, точечной локализации событий и т. д. 69 См. С. Я. Лурье. Демокрит. Л., 1970, стр. 267. 35 2* | В первом случае континуум (проявляется в бесконечной делимости, которая выступает как нечто сугубо неопределенное. Пытаясь внести элемент определенности в сферу бесконечной делимости, континуальная математика пришла к идее точечности. Непротяженная, абстрактная точка выступает как некий предельный элемент бесконечного деления. Причем абстрактная связь этих элементов задается принципом плотного множества и т. д., на чем и основана вся аксиоматика непрерывности от Архимеда до Кантора и Дедекинда. Иная ситуация характерна для атомистической математики: континуум суть «неделимое», связное целое. Здесь <на первый план выдвигается понятие связи и целостности как основы непрерывности. Эта линия в истории математики прослеживается от Демокрита до Г. Вейля, который, в частности, писал, что «подлинный континуум есть нечто в себе связное и не может быть разделен на отдельные куски, подобное разделение противоречит его сущности»70. Подобными свойствами и наделял Демокрит свои амеры, лежащие в основе атомистической математики. Реконструируя систему Демокрита как теорию структурных уровней — физического (атомы и пустота) и математического (амеры), мы с неизбежностью сталкиваемся с двумя типами пространств: непрерывное физическое пространство, т. е. пустота Демокрита, и математическое дискретное пространство, основанное на амерах как масштабных единицах протяжения материи. Наличие двух пространств в системе Демокрита было отмечено еще Э. Франком, .который, собственно, и открыл математический аспект древнегреческой атомистики. В частности, он приходит к выводу, что Демокрит «различает пустое математическое пространство (идеальное пространство геометрии) от реального физического пространства. Математическому пространству (чистому «ничто») он приписывает делимость до бесконечности, тогда как физическое пространство неделимо до бесконечности и состоит из дискретных элементов 70 Г. Вейль. О философии математики. М.—J1., 1934, стр. 123. Мы не касаемся здесь различий (и существенных) между формализмом, логицизмом и интуиционизмом в современной математике. 36 |
