154
сквозь верхнюю грань:
( ЭDz dDz Л
Dz + — dz + — dt \dxdy; (6.55)
Суммируя потоки через все грани и деля их сумму на объем параллелепипеда, находим:
3D 3D 3D 3D 3Dz 3Dz
x + x +---- +---- +---- +---- = Р, (6.56)
Эx cxdt дy cydt dz czdt
где
cx=dx/dt; c =dy/dt; cz=dz/dt; (6.57)
и, таким образом,
ЭDx dD ЭDz
div D+-------------------------= p, (6.58)
cxdt cydt czdt
1 111 = ++
c2 cx2 c2y cz2
(6.59)
или
dD
divD +-----= p; D = D(t — r/c), (6 60)
что отличается от третьего уравнения Максвелла наличием члена dD/cdt.
Полученное дифференциальное уравнение первой степени при р = 0 имеет решение при р = 0
D = D(t - r /c), (6.61)
т.е. это волна, а само уравнение — волновое уравнение первой степени и отражает продольное распространение волны.
Теорема Гаусса при этом несколько видоизменяется и приобретает следующую форму:
Электромагнитное поле
155
Фе = §D(t-r / c)dS =q(t) (6 62)
S
Поскольку ток в среде распространяется вдоль потока D и его плотность 3 пропорциональна D, то для плотности тока справедливо соотношение
div 6 +------; 3 = S(t -r / c), (6 63)
c¶t
т.е. распространение тока в среде носит волновой характер.
Данное положение противоречит известному статическому закону Кирхгофа о том, что сумма всех токов для любой точки электрической цепи в любой момент времени равна нулю, т.е. что
∑ Ii = 0. (6.64)
i i=1
Из уравнения же 6.63 вытекает, что закон Кирхгофа справедлив лишь в среднем, но в каждый момент времени
n
∑Ii ¹ 0. (6.65)
i=1
поскольку волновой процесс подразумевает сжимаемость тока.
Для проверки данного положения был проведен эксперимент по схеме рис. 6.8.
Предполагалось, что при замыкании контакта на длине отрезка провода, прилегающем к контакту, должна возникнуть максимальная плотность тока и, как следствие, короткий импульс напряжения. Этот импульс должен уменьшаться по амплитуде и расширяться по мере отступа от контакта.
Два провода длиной каждый по несколько метров были подключены к источнику постоянного напряжения (обычной батарейке). От каждого из проводов были сделаны отводы через 1 м. Провода периодически замыкались контактом. Отводы подключались к высокочастотному электронному осциллографу. Идея эксперимента заключалась в том, чтобы определить, как растекается ток по проводу при замыкании цепи, на разомкнутых концах которой находится полная разность потенциалов.
