Электромагнитное поле
139
rot H
г-_y
¶ y ¶ z
i +
(6.8)
, xxxxx ----------- j+-----------------------
^ ¶z ¶ x / ^ ¶ x ¶ y
во вторых выражениях ротор представлен через градиенты.
Для решения системы уравнений Максвелла вводятся скалярный электрический φ и векторный магнитный А потенциалы, так что
B = rot A; E = -grad j-dA/dt (6.9)
При этом если скалярный потенциал <р имеет физический смысл работы, которую нужно выполнить для перемещения единичного заряда из бесконечности в данную точку электрического поля, то векторный потенциал имеет лишь чисто математический смысл как некоторая вспомогательная функция, использование которой имеет лишь методическое значение.
Указанные выше уравнения Максвелла имеют дифференциальную форму. Им соответствуют уравнения электродинамики в интегральной форме
1. Закон Фарадея электромагнитной индукции
e =
l
JEdl = -d Fм/dt. (610)
2. Закон полного тока
i = JHdl = dq/dt. (611)
3. Теорема Остроградского — Гаусса для электрического поля
0e=JDdS = q. (612)
4. Теорема Остроградского — Гаусса для магнитного поля
140
Фм = I BdS = 0.
(6.13)
Здесь Фе и Фм — соответственно потоки электрического смещения D и магнитной индукции B сквозь замкнутую поверхность dS, охватывающую свободный заряд q.
Разберем последовательно физический смысл уравнений.
Первое уравнение Максвелла
rot E = -dB / dt (6.14)
и соответствующее ему интегральное уравнение
e = \Edl = -dFM/dt. (615)
выражают тот факт, что если в замкнутом контуре изменяется магнитный поток, то в самом контуре возбуждается ЭДС е, величина которой определится указанными уравнениями. В частности, если контур лежит в плоскости ху, то магнитная индукция имеет направление оси z, перпендикулярной плоскости ху. Тогда будем иметь:
exy = -mSdHz /dt , (6.16)
где S — площадь контура.
1) Приведенное уравнение предполагает возможность изменения магнитной напряженности вдоль оси z без какого бы то ни было поперечного перемещения магнитного поля в пространстве. Однако следует заметить, что реально такого процесса в природе не существует. На самом деле изменения напряженности магнитного поля можно добиться только сгущением силовых линий и добавлением их в контур с боков контура (рис. 6.1).
S
