138
Как известно, уравнения электродинамики по Максвеллу в современном изображении имеют вид [2]:
1. rot E = — dB/dt;
2. rot H = j + dD/dt;
3. div D = ρ;
4. div B = 0;
(6.1) (6.2) (6.3) (6.4)
Здесь Е и Н соответственно напряженности электрического и магнитного полей; D = гЕ и В = цН — соответственно электрическая и магнитная индукции; г и ц — электрическая и магнитная проницаемости среды; j = аE — плотность тока проводимости; а — удельная электропроводность среды; р — плотность электрического заряда в среде.
При этом
JEdl
rot E = lim
(6.5)
DS®0 DS
или
rot E
¶ Ez ¶ E Л ¶ y ¶z
i +
¶ E ¶ Ez | Г ¶ E ¶ E
(6.6)
у ¶z ¶ x ;
соответственно
j +
¶ x ¶ y
JHdl
rotH = lim
(6.7)
D S ®0 DS
Электромагнитное поле
139
rot H
г-_y
¶ y ¶ z
i +
(6.8)
, xxxxx ----------- j+-----------------------
^ ¶z ¶ x / ^ ¶ x ¶ y
во вторых выражениях ротор представлен через градиенты.
Для решения системы уравнений Максвелла вводятся скалярный электрический φ и векторный магнитный А потенциалы, так что
B = rot A; E = -grad j-dA/dt (6.9)
При этом если скалярный потенциал <р имеет физический смысл работы, которую нужно выполнить для перемещения единичного заряда из бесконечности в данную точку электрического поля, то векторный потенциал имеет лишь чисто математический смысл как некоторая вспомогательная функция, использование которой имеет лишь методическое значение.
Указанные выше уравнения Максвелла имеют дифференциальную форму. Им соответствуют уравнения электродинамики в интегральной форме
1. Закон Фарадея электромагнитной индукции
e =
l
JEdl = -d Fм/dt. (610)
2. Закон полного тока
i = JHdl = dq/dt. (611)
3. Теорема Остроградского — Гаусса для электрического поля
0e=JDdS = q. (612)
4. Теорема Остроградского — Гаусса для магнитного поля
