150
Глава 4.
4.6.2. Температурное поле вблизи вихря и поглощение вихрем окружающего газа
Как было показано выше, всякий вихрь, в том числе и тороидальный, имеет пониженную относительно внешней среды температуре. Как известно [18, 22, 30, 31, с. 447-455], распределение температур в газе определяется уравнением теплопроводности
дТ дТ 2 дТ 2 дТ 2
— = а (--+--+ -), (4.81)
дt д2х д2_у д2z
или в сокращенном виде
f
Т (М, t ) = аАТ---, (4.82)
срр
где Т (М, t) - температура среды в точке М с координатами х, у, z в момент времени t; а - коэффициент теплопроводности среды, характеризующий скорость выравнивания температуры в неравномерно нагретом теле; f - плотность тепловых источников; сР - удельная теплоемкость среды; р - плотность среды
д2 д2 д2
А = (--+--+--). (4.83)
д2х д2_у д^
Уплотненный тороидальный вихрь по своей форме близок к шару, и на расстояниях, составляющих всего несколько радиусов, разница между температурным полем тороида и шара становится совершенно незначительной. Поэтому для упрощения всей задачи распределения температур в среде, окружающей тороид, за его модель принят шар.
Строение газовых вихрей
151
В сферических координатах для шарового источника тепла мощностью q решение уравнения (4.83) имеет вид:
q 2 го -а
Т (r,t) =------J e da, (4.84)
4nacPpr лр r /4at
где r - расстояние от центра теплового источника.
Температурный градиент, пропорциональный тепловому потоку, определяется выражением:
дТ q д 1 да -а2
grad T = — =------(--J e da) . (4.85)
dr 2nnacP pr dr r r/ 2-[at
Градиент температуры при малых расстояниях от источника тепла определится как
|
д |
2 1 да -а | |||
|
grad T |
= kqq |
— |
(- — J e da) |
= |
|
дr |
r r/ 2 Vat | |||
|
д |
1 |
2 1 да -а 1 |
/ 2 t - 2 | |
|
= kqq |
— (- |
J e da + — |
J e da) | |
|
dr |
r |
0 r |
0 | |
|
kqqV2n |
r2 | |||
=-----kqq--. (4.86)
r2 4at
Последний член стремится к нулю при r ^0. При больших расстояниях выражение
