122
Глава 4.
Тогда масса начнет двигаться по спирали, и при этом угол между нитью и траекторией будет меньше прямого угла. Появляется проекция центробежной силы на траекторию. Общее движение тела происходит по кривой, мгновенным центром вращения для которой является точка О', вынесенная в сторону от точки О, к которой прикреплена нить и к которой направлена сила F^ при этом проекция силы ^ц на направление движения не равна нулю, и тело приобретает ускорение вдоль траектории.
Для обычного вращательного движения (рис. 4.7 в) из подобия треугольников АА О и abc следует:
Av/v = S /г = vAt /г
(4.17)
или
Av /At = ац = v 2 / r ;
(4.18)
а из подобия треугольников ABC и AEF (рис. 4.9б) вытекает, что
(4.19)
ат /ац = - vr /vT
или
v.
r ут
откуда
vT vr vT vr
Vt r Vt
(4.20)
ат = - ш vr
(4.21)
а*т а*ц
r
т.е. ускорение массы в этом случае имеет природу ускорения Ко- риолиса.
Умножая оба члена выражения на радиус r, имеем
Строение газовых вихрей
123
aT r + vT vr = 0; (4.22)
интегрируя по времени, получаем
dvx dr
J ( aT r + vT vr) dt = J (--r + vT — ) dt = const. (4.23)
dt dt
Поскольку в скобках стоит полный дифференциал, имеем
vr = const. (4.24)
Для постоянной массы получим
mvr = const, (4.25)
откуда следует, что при r2 < r1
22 mv2 mvi
p2 = mv2 > p1 = mv1 ; w2 =--> w1 =--. (4.26)
2 2
Таким образом, закон постоянства момента количества движения справедлив, если в системе за счет внешних источников изменяется энергия, направленная на соответствующее изменение (увеличение или уменьшение) радиуса вращения тела. Рассмотренный случай принципиально отличается от предыдущего тем, что энергия вращения тела изменяется. При этом все остальные характеристики ускоряющегося тела, например температура и др., не меняются.
Тангенциальная скорость движения тела при уменьшении радиуса вращения окажется существенно больше первоначальной и будет определяться выражением, полученным из условия постоянства момента количества движения:
