Строение газовых вихрей
147
дит в первом приближении пропорционально третьей степени расстояния и описывается законом Био-Савара (рис. 4.16):
Гт (r - р) dp v (r) =--j-----
4п L | r - р |
(4.75)
где Гт - значение циркуляции тангенциальной скорости на поверхности вихря; r - радиус-вектор вихревой нити L; р - радиус- вектор точки, в которой рассматривается скорость.
Составляющие скорости по осям координат имеют вид:
3
— Гт
4
sin9 cos9
cos0;
3
— Гт
4
sin9 cos9
sin0;
(4.76)
3
2 r
Гт .
3
v
x
3
r
v
3
r
v
z
Если тороидальный вихрь имеет кроме тороидального еще и кольцевое вращение вокруг своей оси, то он своим движением захватывает окружающий газ и отбрасывает его в сторону от вихря. Если бы движение происходило в окрестностях цилиндрического вихря, обладающего подсосом газа по своим торцам, то скорость поступательного движения газа менялась бы по гиперболическому закону:
v = Г/ 2п r,
(4.77)
148
Глава 4.
где Г - циркуляция кольцевого движения. При этом расползание кольцевого движения происходило бы только в толщине цилиндра в виде плоского «блина».
Однако в тороидальном вихре наличие тороидального движения вокруг него размывает слой, в котором происходит кольцевое движение. В результате кольцевое движение среды охватывает сначала одну половину сферы, а затем и другую. Поскольку объемная циркуляция составит ЬГк (b - толщина кольца, Гк - циркуляция кольцевого движения), а размыв слоя происходит в пределах поверхности шара, равной 4лт2, то кольцевая скорость в окружающем тороидальный вихрь пространстве определится выражением
ЬГк
vk =--, (4.78)
4лт2
и, следовательно, для кольцевого движения в окрестностях винтового тороидального вихря vK ~ 1/ r2.
Поток кольцевой скорости определяется некоторым аналогом теоремы Остроградского-Г аусса:
k ds = ЬГк. (4.79)
s
Следует заметить, что приведенные выражения носят чисто кинематический характер, не учитывающий сжимаемости среды, которая особенно проявляется вблизи тела тороидального вихря, а также не учитывающий инерционность массы газа, вытекающего из центрального отверстия тороида. Учет же инерционных сил приводит к тому, что течение оказывается несимметричным относительно плоскости кольца. Эта несимметрия сказывается и на кольцевом движении.
Необходимо отметить, что в отличие от тороидального в распределении скоростей кольцевого движения в окрестностях вин¬
