325
определится как произведение Ее, где е - заряд электрона. Под действием этой силы электрон, имеющий массу т, приобретет ускорение, равное
а = Ее/т (8.46)
и за время At между соударениями с поверхностями атомов приобретет дополнительную скорость Av. Если X есть расстояние, пробегаемое
электроном между двумя столкновениями и vTcp есть скорость
электрона, то величина этого промежутка времени будет равна
At = X / vTcp; (8.47)
Проводимость проводника а тем больше, чем выше концентрация зарядов в единице объема металла, чем больше величина заряда и чем выше подвижность заряда м, т. е. приращение скорости, отнесенное к силе, действующей на заряд, т. е.
ЕеХ
o = NeM\ M = AvqIE; Avq = aAt =--, (8.48)
m и
и, следовательно,
Ne2X
ст =-. (8.49)
mu
Приведенная формула для расчета проводимости металлов впервые была выведена Друде в 1900 г. [26]. Однако следует заметить, что сама подвижность электронов зависит от плотности и вязкости эфира в Ван-дер-Ваальсовых оболочках, в пределах которых и перемещается свободный электрон.
Расчет длины свободного пробега электрона в различных металлах на основе справочных данных дает хорошее совпадение в порядках величин с ожидаемыми по теории. Так при температуре ноль градусов по Цельсию для меди X = 2,65ТСГ10 м; для алюминия 1,64ТСГ10 м„ для вольфрама 0,84.10-10 м; для висмута 3,7ТСГ13 м. Последнее обстоятельство говорит о весьма небольшой величине межатомного пространства в висмуте, в котором могут перемещаться свободные электроны.
326
Приобретя дополнительную кинетическую энергию, электроны с большей силой ударяются об электронную оболочку атомов проводника, чем и объясняется повышение температуры проводника при прохождении по нему электрического тока. А поскольку амплитуда колебаний поверхности электронной оболочки атомов возрастает, то и число столкновений электронов с атомами возрастает, что и является причиной увеличения электрического сопротивления проводника при нагреве.
При разогреве проводника его сопротивление возрастает за счет возрастания амплитуды колебаний электронных оболочек атомов и сокращения в связи с этим длины свободного пробега электронов. Для меди относительное сокращение длины пробега составляет 4,33• 10-3 К-1 , для алюминия - 4,6" 10-3 К-1 , и при изменении температуры на 10
град, длины свободного пробега электронов составят 2,54'1СГ10 м и 1,56-10_1°м соответственно.
Плотность тока, протекающего по проводнику, определится из выражения
j = Ne Av, (8.50)
поскольку она пропорциональна объемной плотности электронов в металле, величине элементарного заряда и средней скорости электронов вдоль оси проводника. Подставляя соответствующие значения величин, получим:
Ne2l
j =--Е=аЕ, (8.51)
ти
что и выражает закон Ома в дифференциальной форме.
Умножая левую и правую части выражения на объем проводника V = SL, где S - площадь сечения проводника, a L — его длина, получаем
jSL = oESL. (8.52)
Поскольку значение тока в проводнике равно
I=jS, (8.53)
а падение напряжения на проводнике равно