256
Решение этого уравнения имеет следующий вид:
п knct кпх
и = 2 Hkcos sin -,
(7.8)
к= 1
/
/
где
2 / knz
Ак= — \f(z) sin dz.
(7.9)
I
I
Здесь I - дайна струны; / (x) - распределение начальных возмущений вдоль струны.
Таким образом, физически близкие системы описываются разными по форме выражениями, дающими практически одни и те же решения.
Некоторые авторы обратили внимание на возможность гидромеханической трактовки уравнений квантовой механики. Помимо рассмотренной выше трактовки (//-функции как массовой плотности среды, предложенной Эддингтоном [33, 34], исследования этого вопроса были выполнены также Маделунгом [36] и Бомом [37].
Маделунг после подстановки временного фактора в уравнение Шредингера получил:
8 п2т
4пт
ду/
у/---Uy/—i---= 0.
(7.10)
h2
Полагая далее ip
у/ = ае , он нашел
h
dt
%n2mU
4пт
sp
А а - a(grad/T)2---+--а-= 0;
(7.11)
(7.12)
И2
h
dt
4пт да
а Ар + 2(grad agrad/i)----= 0.
h
dt
(7.13)
О
257
При
ph
<р = - (7.14)
2 пт
Маделунг получил уравнение да2
div (a2grad/) +--= 0, (7.15)
dt
имеющее характер гидродинамического уравнения неразрывности:
др
div(pv) +- =0, (7.16)
dt
в котором а2 выступает как массовая плотность р, av - как grad tp со скоростным потенциалом ср.
Кроме того, Малелунг получил уравнение
dtp I U Аа h2
+ — (grad tp) 2------= 0, (7.17)
dt 2 т а8л2т2
которое точно соответствует уравнению гидродинамики применительно к свободным вихревым течением под воздействием консервативных сил. Образуя градиент и полагая rot (7=0, имеем:
8U 1 dlJ grad U Аа h2
+ —grad U2 =- = +grad---. (7.18)
dt 2 dt m a8n2m2
grad U
Здесь--соответствует отношению ftp (плотности силы к
т
Аа h2 АР
плотности массы);--соответствует j--как функции
а8л2т2 р
«внутренних» сил континуума.