254
координат и времени (не количество движения или скорость), которая применима для определения координат системы и нахождения возможных динамических величин квантовых объектов микромира. Считается, что развитый Шредингером математический формализм и введенная им волновая функция являются наиболее адекватным математическим аппаратом квантовой механики и ее применений. В интерпретации Борна эта функция применима для определения координат системы и нахождения возможных динамических величин. Однако позже было принято, что при использовании динамического уравнения такого типа нельзя надеяться на точное описание классического поведения систем. Другими словами, степень точности, которая может быть достигнута в описании поведения системы методами квантовой механики, ограничена принципом неопределенности Гейзенберга [19, 29-31].
Применив волновое уравнение Шредингера и некоторые дополнительные гипотезы, можно определить функцию координат и времени, называемую волновой функцией, функцией Шредингера или функцией амплитуды вероятностей. Квадрат модуля волновой функции интерпретируется как плотность вероятности распределения координат заданной системы. Уравнение называется волновым, так как оно представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка, имеющее сходство с волновым уравнением классической механики. Считается, что это сходство имеет лишь формальное значение и поэтому во внимание не принимается.
Однако некоторые исследователи обнаружили, что возможны и некоторые другие толкования положений квантовой механики. Так, Эддингтон разработал определение массы частицы, представленной волной или волновым пакетом, как результат интегрирования по всему трехмерному пространству плотности, приписываемой непосредственно волновой функции с расщеплением по номинально бесконечному волновому фронту. Таким образом, в этом случае волновая функция трактуется как обычная физическая плотность некоторой среды [32-34].
Следует отметить, что уравнение Шредингера описывает обычные колебания частицы массой т. В самом деле, уравнение Шредингера имеет вид:
8 п2т 12 nWt/h
Ау/---(W-U)y/ = 0; у/=у/0е , (7.1)
h2
255
где W - энергия системы; U - потенциальная энергия системы как функция местонахождения частицы; т - масса частицы.
Для одной оси волновое уравнение приобретает вид:
d 2у/ 8л2т
-----[W-U(x)]y/ = О, (7.2)
dx2 h2
отражающий собой амплитуду колебаний функции.
Для осциллятора потенциальная энергия определяется выражением
1
U(x) = — к х2 = 2п2т\)2 х2. (7.3)
2
Здесь о - частота колебаний; к = 4л2тх> - коэффициент упругости системы. Обозначив
\=8n2mW/h; a = 4n2mx>/h, (7.4)
получим
d2yt
(к - а2х2) у/ = 0. (7.5)
dx2
Решая (6.5), получаем:
1 1
к = (п + — )2а; U=(n+ —) 1т; п = 0,1,2..., (7.6)
2 2
что физически означает спектр некоторых устойчивых колебаний в пространстве и во времени.
Нужно отметить, что спектр устойчивых колебаний характерен не только для волнового уравнения в форме (7.2). Например, для струны, закрепленной на концах, имеем [35]:
д2и ди2
= с2 -; и = 0 при х = 0; х = 1. (7.7)
dt2 dx2