165
незначительной. Поэтому для упрощения всей задачи распределения температур в среде, окружающей тороид, за его модель принят шар.
В сферических координатах для шарового источника тепла мощностью q решение уравнения (5.83) имеет вид:
q 2 да -а2
T(r,t) =---- 1 е da, (5.84)
4 пасррг л\п г /-.fat
где г - расстояние от центра теплового источника.
Температурный градиент, пропорциональный тепловому потоку, определяется выражением:
дТ q 4 1 да -а2
grad Т = — =----(-— 1 е da). (5.85)
дг 2пшасРрг дг г г/2-.fat
Градиент температуры при малых расстояниях от источника тепла определится как
а 1 оо -а2
grad Т= кд — (- — 1 е da) =
дг Гг/ 2-fat
а 1 оо -а2 1 г/ 2 -..fat -а2
= кд — (— — J е da + — 1 е da) =
дг г о го
kqqf2n г2
=----kqq--. (5.86)
г2 4 at
Последний член стремится к нулю при г —>0. При больших
расстояниях выражение
1 со -а2
— 1 е da (5.87)
Г г / 2-fat
166
Глава 5. Строение газовых вихрей.
затухает существенно быстрее, чем 1/г, поскольку максимум интеграла имеет место при г = 0. Следовательно, и градиент температуры убывает при больших радиусах существенно быстрее, чем г~2.
Градиент температуры в трехмерном пространстве можно представить в следующем виде:
кд
grad Т = Ф (/;/)
г2
(5.88)
1 д 1 оо -а2
Ф (r,t) = г2 — (--| е da); го = 2-fat.
(5.89)
г! го
При этом lim Ф (r,t) = 1.
г —>0.
(5.90)
Рис. 5.17. Распределение температуры и давления вокруг совокупности тороидальных вихрей в свободном пространстве
Таким образом, градиент температур на малых расстояниях уменьшается пропорционально квадрату расстояния, а на больших -значительно быстрее (рис. 5.17).
Представляет интерес определить скорость распространения градиента температур. Поскольку давление в газе связано с температурой пропорциональной зависимостью