374
3. Теорема Остроградского - Гаусса для электрического поля
<Pe = $DdS=q (8.168)
4. Теорема Остроградского - Гаусса для магнитного поля
0M = \BdS = 0. (8.169)
Здесь Фе и Фм - соответственно потоки электрического смещения D и магнитной индукции В сквозь замкнутую поверхность dS. охватывающую свободный заряд q.
Разберем последовательно физический смысл уравнений.
1. Первое дифференциальное уравнение Максвелла
хо\Е= - dB/dt (8.170)
и соответствующее ему интегральное уравнение
е = \Edl = - ddhi/dt (8.171)
выражают тот факт, что если в замкнутом контуре изменяется магнитный поток, то в самом контуре возбуждается ЭДС е, величина которой определится указанными уравнениями. В частности, если контур лежит в плоскости ху, то магнитная индукция имеет направление оси z, перпендикулярной плоскости ху. Тогда будем иметь:
еху= - pSdHJdt, (8.172)
где S - площадь контура.
1) Приведенное уравнение предполагает возможность изменения магнитной напряженности вдоль оси z без какого бы то ни было поперечного перемещения магнитного поля в пространстве. Однако следует заметить, что реально такого процесса в природе не существует. На самом деле изменения напряженности магнитного поля можно добиться только сгущением силовых линий и добавлением их в контур с боков контура (рис. 8.20). При этом ЭДС в контуре возникает не за счет изменения напряженности магнитного поля внутри контура, а за счет пересечения проводников контура магнитными силовыми линиями, добавляемыми к тем, что уже имеются внутри контура. Таким
375
образом, механизм появления ЭДС в контуре иной, нежели предусмотрен первым уравнением Максвелла, соответственно должно быть несколько иным и само уравнение, описывающее этот процесс. Главное то, что в первом уравнении Максвелла отсутствует описание процесса пересечения силовыми линиями магнитного поля проводника контура.
Рис. 8.20. Наведение ЭДС в контуре: а — по Максвеллу; б —в реальности
2) Первое уравнение Максвелла описывает процесс в плоскости, но не в объеме. Собственно изменение напряженности Hz вдоль оси z в нем отсутствует. Поворот же плоскости в осях координат, когда и в правую, и в левую части уравнения попадают все три декартовы координаты, сути не меняет.
Почему же первое уравнение Максвелла и вытекающий из него интегральный закон Фарадея магнитной индукции позволяют хорошо производить расчеты, например, трансформаторов и многих других магнитных систем? Ответ прост. Изменение магнитного поля внутри контура является следствием добавления магнитных силовых линий с боков контура, численно они почти совпадают, и это позволяет, игнорируя суть процесса, выполнять в большинстве случаев необходимые расчеты с удовлетворительной точностью. Но не во всех, иногда отклонения в расчетах превышают допустимые погрешности, и весьма существенно.
3) В уравнении правая и левая части не эквивалентны. Правая часть уравнения выступает причиной, а левая часть - ее следствием. Если путем изменения магнитной индукции с постоянной скоростью можно создать на контуре постоянную ЭДС, то обратное действие не может