173
dv
dFx = - qdS , (5.97)
dy
где i] - динамическая вязкость среды; dS - элемент площади омываемой поверхности; dv/dy - градиент скорости в перпендикудярном относительно поверхности направлении. Однако уравнение Ньютона описывает процесс лишь в первом приближении, на самом деле картина достаточно сложна и связана с изменениями вязкости от температуры, с влиянием изменения плотности газа и т.п.
При омывании пластины потоком газа на ее поверхности давление снижается. В первом приближении эту силу можно определить из уравнения Бернулли:
v2 dP
+ I-= const. (5.98)
2 р
Полагая для первого приближения р = const (т.е. пренебрегая изменениями плотности) получим выражения для полной энергии потока
2
pvz
+ Р = w = const. (5.99)
2
где w - полная энергия единицы объема потока.
Взяв первую производную в направлении, перпендикулярном плоскости омываемой площадки, получим
dv dP
pv =--. (5.100)
dy dy
Взяв интеграл от значения величины уь при котором v = vj до значенияу2, при котором v = v2, так что v2-v1= Av, получим:
p(Av)2
=-ДР. (5.101)
2
Таким образом, на стороне пластины, омываемой газовым потоком, давление будет меньше, чем на противоположной стороне, и образуется
174
Глава 5. Строение газовых вихрей.
результирующая сила в направлении, перпендикулярном направлению потока (рис. 5.22).
Рис. 5.22. Происхождение поперечной силы, воздействующей на поверхность тела со стороны омывающего потока
Если вращающийся цилиндр или цилиндрический газовый вихрь омывается потоком газа, то на нем возникает градиент скоростей. С той стороны, где направления потоков противоположны, градиент скорости будет больше, чем на противоположной, где направления движения стенки цилиндра и потока совпадают, здесь градиент будет меньше. Соответственно падение давления на первой стороне окажется больше, а само давление меньше, чем на второй стороне.
Разность давлений создаст на поверхности цилиндра силу, направленную перпендикулярно набегающему потоку в сторону меньшего давления, т.е. в сторону наибольшей разности скоростей. Явление было открыто в 1852 г. немецким ученым F.F.Магнусом и получило название эффекта Магнуса (рис. 5.23) [34, 35].
Н.Е. Жуковским была доказана теорема, согласно которой подъемная сила Y, действующая на омываемый потоком предмет, определяется как произведение плотности среды р на скорость потока vn и на циркуляцию этой же скорости по любому замкнутому контуру Г:
Y = pvX (5.102)
Теорема Жуковского носит интегральный характер. Для уяснения физической природы этой силы представляет интерес определить ее дифференциальное выражение.