149
5.4. Движение газа вокруг линейного вихря Энергетический парадокс
В соответствии с известными положениями гидродинамики для несжимаемой жидкости вокруг вихревой нити устанавливается круговое движение жидкости, подчиняющееся закону
Г = | vdl = const,
(5.48)
где Г - величина циркуляции; v - скорость движения жидкости вокруг центра вихря на расстоянии г от центра; dl - элемент длины потока. Отсюда скорость потока составляет
v = Г / 2 nr,
(5.49)
т.е. скорость потока обратно пропорциональна расстоянию от центра вихря и убывает по гиперболическому закону.
Это положение, впервые сформулированное Г. Гельмгольцем и с тех пор излагаемое практически во всех систематических курсах по гидродинамике, на самом деле весьма не точно, так как ведет к энергетическому парадоксу, в соответствии с которым энергия движения жидкости вокруг единицы длины линейного вихря равна бесконечности при любом значении циркуляции.
В самом деле, величина энергии движущейся вокруг центра вихря жидкости определится выражением
1 + &1
W= lpv2/2dV--
V
\dl \рГ2
2 nrdr А/ р Г2
4 п2!2
00 dr А/ р Г2 00 1—=---1пг|, (5.50)
2п
R Г
2п
или на единицу длины вихря имеем
W
рГ2
W =--=--In Г | = СО,
А/ 2п к
(5.51)
чего, разумеется, не может быть по чисто физическим соображениям.
Вихревой энергетический парадокс на самом деле является всего лишь иллюстрацией недостаточности использованной модели, в данном случае - модели среды как несжимаемой и невязкой жидкости.
R
30
150
Глава 5. Строение газовых вихрей.
Не следует забывать, что в соответствии с теоремами Гельмгольца вихри не могут быть созданы или уничтожены, хотя на самом деле они и возникают, и уничтожаются, что еще раз говорит о недостаточности использованной модели вихря как кругового движения несжимаемой и невязкой жидкости. Учет только сжимаемости приведет к нарушению закона распределения скорости по гиперболическому закону, а учет еще и вязкости приведет к необходимости учета энергетических потерь, что еще сократит расстояние, на котором вихревая нить приводит в движение окружающую его жидкость.
Кроме того, все приведенные выше математически выводы вообще не учитывают процесса самого становления вихря, рассматривая вихревую нить и движение окружающей его жидкости как некую вихревую статику, вообще не имеющую предыстории. Здесь нить не является причиной, приводящей в движение окружающую жидкость, нить и окружающая жидкость просто находятся в динамическом равновесии.
На самом деле, в реальных физических условиях все это не так, вихрь является причиной, по которой движется окружающая его жидкость, на это движение вихрь должен затратить энергию, в результате чего энергетика самого вихря уменьшается. Движение в жидкости распространяется постепенно, соответственно постепенно уменьшается и энергетика вихря, что приводит к снижению скорости его вращения и увеличению его диаметра (диффузия вихря). А наличие вязкости делает этот процесс необратимым.
Передача энергии сжимаемой жидкости неизбежно сопровождается ее сжатием, которое будет тем сильнее, чем ближе жидкость к телу вихря, это нарушит закон гиперболического уменьшения скорости движения жидкости в окрестностях вихря (рис. 5.9).
Таким образом, в реальных ситуациях никакого «энергетического парадокса» нет, так же как никаких «парадоксов» природа вообще не знает. Все без исключения «парадоксы» суть результат нашего неполного, часто самого поверхностного знания о рассматриваемом предмете.
Нечто аналогичное существует и в представлениях о движениях жидкости внутри вихря.