148
Глава 5. Строение газовых вихрей.
и, следовательно,
8
Av2 = Av2(l - кт) = 2v —, (5.46)
г
в результате получим
VoRo
v~--- (5.47)
ё
r( 1-V2 —)
г
Здесь R0 и vQ - начальный радиус вихреобразования и начальная скорость поступательного движения газа в момент образования вихря соответственно.
Таким образом, скорость потока сжимаемого газа в теле вихря может существенно превышать скорость потока жидкости при одинаковых внешних параметрах вихря.
Внутри вихря в разреженной зоне тангенциальная скорость к центру будет плавно убывать, что напоминает убывание скорости во вращающемся твердом теле, хотя природа этого убывания иная (рис. 5.3,в). В отличие от жидких вихрей, центр которых заполнен жидкостью той же плотности, что и их периферия и который,как утверждается некоторыми авторами, вращается по закону твердого тела [17], что безусловно неверно, газовый вихрь имеет трубчатую структуру. В центральной части газового вихря давление газа понижено за счет разброса частиц из центра центробежной силой, а сам вихрь снаружи ограничен пограничным слоем с пониженными значениями температуры и вязкости и со значением плотности, плавно переходящим от высокой плотности стенки вихря к плотности газа в окружающей среде.
Из изложенного следует, что газовый вихрь при своем образовании концентрирует в себе энергию окружающей среды, и этот процесс кардинально отличается от любых других процессов, сопровождающихся рассеиванием энергии в окружающем пространстве.
149
5.4. Движение газа вокруг линейного вихря Энергетический парадокс
В соответствии с известными положениями гидродинамики для несжимаемой жидкости вокруг вихревой нити устанавливается круговое движение жидкости, подчиняющееся закону
Г = | vdl = const,
(5.48)
где Г - величина циркуляции; v - скорость движения жидкости вокруг центра вихря на расстоянии г от центра; dl - элемент длины потока. Отсюда скорость потока составляет
v = Г / 2 nr,
(5.49)
т.е. скорость потока обратно пропорциональна расстоянию от центра вихря и убывает по гиперболическому закону.
Это положение, впервые сформулированное Г. Гельмгольцем и с тех пор излагаемое практически во всех систематических курсах по гидродинамике, на самом деле весьма не точно, так как ведет к энергетическому парадоксу, в соответствии с которым энергия движения жидкости вокруг единицы длины линейного вихря равна бесконечности при любом значении циркуляции.
В самом деле, величина энергии движущейся вокруг центра вихря жидкости определится выражением
1 + &1
W= lpv2/2dV--
V
\dl \рГ2
2 nrdr А/ р Г2
4 п2!2
00 dr А/ р Г2 00 1—=---1пг|, (5.50)
2п
R Г
2п
или на единицу длины вихря имеем
W
рГ2
W =--=--In Г | = СО,
А/ 2п к
(5.51)
чего, разумеется, не может быть по чисто физическим соображениям.
Вихревой энергетический парадокс на самом деле является всего лишь иллюстрацией недостаточности использованной модели, в данном случае - модели среды как несжимаемой и невязкой жидкости.
R
30