Ацюковский В.А. Общая эфиродинамика. — М.:Энергоатомиздат, 2003

142

Глава 5. Строение газовых вихрей.

Умножая оба члена выражения на радиус г, имеем a_Tr + v_Tv_r= 0; интегрируя по времени, получаем

\(a_zr +v_zv_r)dt= |(

dv%

dt

dr

r + v_T —)dt = const. dt

Поскольку в скобках стоит полный дифференциал, имеем vr = const.

Для постоянной массы получим mvr = const, откуда следует, что при г₂ < г\

р₂ = mv₂ > р 1 = mv_x ; w₂ =

mv₂²

Wi

2

mv² 2

(5.22)

(5.23)

(5.24)

(5.25)

(5.26)

Таким образом, закон постоянства момента количества движения справедлив, если в системе за счет внешних источников изменяется энергия, направленная на соответствующее изменение (увеличение или уменьшение) радиуса вращения тела. Рассмотренный случай принципиально отличается от предыдущего тем, что энергия вращения тела изменяется. При этом все остальные характеристики ускоряющегося тела, например температура и др., не меняются.

Тангенциальная скорость движения тела при уменьшении радиуса вращения окажется существенно больше первоначальной и будет определяться выражением, полученным из условия постоянства момента количества движения:

Г₀

и_к и₀. Гк

(5.27)

То же самое должно быть и в случае формирования вихревого движения газа («сжимаемой жидкости»): чем более сжат вихрь, тем больше будет скорость движения потоков. Это же должно иметь место и

>

143

в структуре сформированного вихря; внутренние слои должны двигаться со скоростью большей, чем внешние слои.

Энергия тангенциального движения, приобретенная массой за единицу времени, равна

F_T AS_T v ² v_r

w_r =- = ma_Tv_T=m- = mco v_Tv_T = mco²v_rr. (5.28)

At r

Энергия, вложенная в радиальное перемещение тела за ту же единицу времени, составляет

Ац Л£ц V_r² v_r

1Тц =- = та_цу_ц = т , (5.29)

At г

и следовательно,

w_r=w₄, (5.30)

что подтверждает тот факт, что приобретенная массой энергия имеет исключительно внешнее происхождение.

Сила, ускоряющая массу, равна

Vr V_r

F_T =- = mmv_r (5.31)

г

и пропорциональна угловой скорости и скорости изменения радиуса.

Сила, которую нужно приложить к массе в радиальном направлении, составляет:

Vr²

F_r = -= тсо²Г. (5.32)

г

Таким образом, F_r - полная сила, а энергия, направленная на преодоление этой силы при перемещении тела со скоростью v„ и есть вся энергия, которую нужно вложить в систему для обеспечения сокращения радиуса и приобретения массой дополнительной энергии вращения.