многое другое. В технике теория вероятности нашла исключительно важное применение при оценке надежности изделий, выборе резервов, а также при расчете допустимых погрешностей. Однако строго обоснованных и точных методов в теории вероятности не существует до сих пор. Что поделаешь, вероятность - она и есть вероятность!
Вероятности тех или иных событий удобно изображать в виде гистограмм или плотностей распределения вероятностей. Это вот что.
Предположим, у вас есть 100 одинаковых стержней длиной по метру. Они сделаны не очень точно, это и не нужно, потому что допустимая погрешность составляет ± 1 см. Все стержни немного отличаются друг от друга. Выберем из общей массы те, длина которых лежит в пределах от 1000 до 1001 миллиметра, поделим это число выбранных стержней на общее число стержней и получим процент этих стержней. Когда мы переберем все стержни с заданным интервалом по 1 миллиметру и расположим все эти проценты на общем графике, в котором по горизонтали будет отложена длина, а по вертикали все эти проценты, мы и получим гистограмму. Сумма всех ординат в гистограмме всегда равна 100%. В плотность вероятности гистограмма превращается, если все ее ординаты разделить на указанный выше интервал, в данном случае на миллиметр. Тогда по вертикали будут откладываться не проценты, а величины, обратные той, которая указана в оси абсцисс, в данном случае, 1/м, или м-1. В принципе это все одно и то же, пользуются тем, что удобнее.
А чтобы пользоваться всеми этими приемами было еще удобнее, разработано несколько типовых плотностей распределения вероятностей. И самым ходовым распределением оказалось распределение, изобретенное где-то в первой половине XIX века великим немецким математиком Карлом Гауссом.
Гаусс рассудил так. Если имеется много одинаковых величин с отклонениями туда-сюда, то всегда можно найти их систематическую составляющую. Это будет средняя арифметическая величина. Теперь найдем от нее отклонения. Они будут разными, и их можно представить как сумму бесконечного числа неких одинаковых величин, складывающихся хаотически. Удобнее всего их представить в виде одинаковых стрелок-векторов, которые вращаются на плоскости, как их душе угодно, но суммируются только их проекции на какое-то одно направление. В результате в большинстве случаев суммарное отклонение будет небольшим, в некоторых побольше, и только очень редко очень большим. А уж если все они выстроятся в один ряд, а общее число их бесконечно велико, то мы и получим бесконечное отклонение.
Вот исходя из таких предположений Гаусс и вывел свое гауссовское распределение случайных величин, которое получило название «нормального».
194
Как некая абстрактная модель, это нормальное распределение случайных величин у меня никаких возражений не вызывает. Хотя сам термин «нормальное» непонятен. Если это от слова «норма», то спрашивается, что это за норма и почему решено, что именно это норма.
Норма чего? Если от слова «нормально», то, что же это, все остальные распределения, а их много, не нормальные, что ли? Непонятно. Но главное, что гауссовская модель предполагает бесчисленное множество участвующих звеньев, к тому же одинаковых, но суммирующихся хаотически, случайно. И она тем самым подразумевает наличие «хвостов», то есть возможность существования очень больших, хотя и очень редких отклонений, даже многократно превышающих номинал. А ничего такого в жизни на самом деле нет.
Все эти математические размышления вовсе не так безобидны, как кажется на первый взгляд. Дело в том, что все эти вероятности в авиационном приборостроении стали широко применяться для задания допустимых погрешностей на показания приборов. Военные заказчики и их представители в НИИ, КБ и на заводах, принимающие по совместительству и некоторую гражданскую продукцию, определяют допустимую погрешность через 2а или За. А этим значком s обозначается средняя квадратичная ошибка. Эта ошибка определяется как корень квадратный из суммы квадратов всех частных ошибок, деленной на число этих ошибок, то есть
Тонкость здесь заключается в том, что значения 2а и За означают соответственно 95 и 99,8% случаев, что справедливо только для нормального, т.е. гауссовского распределения. Во всех остальных случаях они превышают предельную ошибку и, следовательно, не имеют
195
