J. J. Nassau and P. M. Morse. A study of solar motion by harmonic analysis // The astrophysical Journal, Vol. 65 (LXV), No. 2, March 1927

Дж. Дж. Нассау и П.М. Морзе. Изучение движения Солнца посредством гармонического анализа // Astrophysical Journal, Vol. 65 (LXV), № 2, март 1927

Abstract

Резюме

Determination of solar motion.

Определение движения Солнца —.

— A method of obtaining the solar apex and velocity by graphical-harmonic analysis is here presented, which, it is claimed, excels Airy’s least-squares method in its simplicity, ease, and adaptability to available data.

Здесь представлен способ получения апекса ((апекс — точка небесной сферы, в которую направлена скорость движения наблюдателя)) и скорости движения Солнца при помощи графического гармонического анализа, который, как утверждается, превосходит метод наименьших квадратов Эйри в своей простоте, легкости применения и возможности адаптации к имеющимся данным.

The theory of the analysis is discussed and its further possibilities in the study of stellar parallaxes and group motion are pointed out.

Обсуждается теория анализа и отмечаются его дальнейшие возможности в изучении звездных параллаксов и группового движения.

To demonstrate the method, the radial motion of 476 stars was obtained from the publication of the Dominion Astrophysical Observatory, 2, No. 1, and their corresponding proper motion, from Boss’s Preliminary General Catalogue.

Для демонстрации метода, радиальные движения 476 звезд были получены из публикации Dominion Astrophysical Observatory, 2, № 1, и соответствующего их собственного движения, из Предварительного общего каталога Босса.

From these, the solar apex was determined with the following results:

Из этих значений апекс [движения] Солнца был определен со следующими результатами:

α=272°,

δ = 33°. 7,

V=24.8 km/sec.,

πav = 0.0092.

α = 272 °,

δ = 33,7°,

V = 24,8 км / с,

πav = 0,0092.

To show the relative accuracy of the harmonic analysis and the least-squares analysis, the radial velocities of sixty stars, of declination about 60°, were used; by harmonic analysis the apex and velocity were found to be

α= 266°, δ = 41°.5, V = 20.5 km/sec.;

by least squares,
α=256°, δ = 60°, V= 17. 3 km/sec.,
the former being nearer to the values obtained from the most recent and extensive studies of the determination of the solar apex.

Чтобы показать относительную точность гармонического анализа и анализа наименьших квадратов, были использованы лучевые скорости шестидесяти звезд cо склонением около 60°; при этом посредством гармонического анализа апекс и скорость были найдены равными
α = 266 °, δ = 41,5°, V = 20,5 км / с;
а методом наименьших квадратов, равными

α = 256°, δ = 60°, V = 17.3 км / с,
первый вариант оказался ближе к значениям, полученным из самых последних и широких исследований определения апекса движения Солнца.

Concerning the ether-drift experiment.

Что касается экспериментов по измерению эфирного ветра —.

— Inasmuch as the foregoing method is the outcome of the investigation of the recent data on the ether-drift experiment (Science, April 30, 1926), a discussion of the latter is given.

Поскольку описанный выше способ является результатом расследования недавних данных эксперимента по измерению эфирного ветра (Science, 30 апреля 1926), его обсуждение также здесь представлено.

Introduction

Nearly all of the recent determinations of the probable position of the apex and the speed of the solar motion have employed Airy’s least-squares method.

Введение

Почти все последние определения вероятного положения апекса и скорости движения Солнца использовали метод наименьших квадратов Эйри.

It has been pointed out by a number of writers that if, in the determination of the position of the solar apex, the stars to be used are grouped in small areas, the majority of the stars in one area play a small part in the result, since the presence of a few large proper motions virtually determines the mean proper motion of the area. ^74-1

Ряд авторов отмечали, что если, при определении позиции солнечного апекса, использованные при этом звезды будут сгруппированы в небольшие области, большинство звезд в одной области играют небольшую роль в [получении] результата, так как наличие нескольких крупных собственных движений практически определяет среднее собственное движение в этой области. ^74-1

The nature of the process of the least-squares solution does not enable the investigator to know readily and easily what effect a certain star or a group of stars will produce in the result. It might be added that the method involves considerable labor, which limits the extent of the investigation.

Характер процесса вычисления методом наименьших квадратов не позволяет исследователю знать легко и быстро, какой эффект определенная звезда или группа звезд будет производить в результате. Можно добавить, что метод оказывается очень трудоемким, что ограничивает масштабы исследования.

In this paper we propose a method free from the objectionable features of Airy’s least-squares solution; it is amply accurate, considering the precision of the data available, and is much less laborious; it provides a simple method for the study of the group motion of stars and of stellar parallaxes.

В данной работе мы предлагаем метод, свободный от этих нежелательных особенностей решения наименьших квадратов Эйри; он является вполне точным, учитывая точность имеющихся данных, и гораздо менее трудоемким; это дает простой метод для изучения группового движения звезд и звездных параллаксов.

Theoretical considerations

Теоретические соображения

It is assumed here that the peculiar motions of stars are at random.

Здесь предполагается, что пекулярные ((аномальные по характеристикам)) движения звезд являются случайными.

Denote by α_a and δ_a the right ascension and declination of the solar motion, and by V its speed (in kilometers per second). Then the angular velocity of the solar motion, V" (seconds of arc per year), will be equal to Vπ_a/4.74, when π_a is the average parallax of the stars used in the determination.

Обозначим через α_a и δ_a прямое восхождение и склонение движения Солнца, а через V — его скорость (в километрах в секунду). Тогда угловая скорость движения Солнца, V" (угловых секунд в год), составит Vπ_a/4.74, где π_a — средний параллакс звезд, использованных для ее определения.

Also denote the proper motion in right ascension and declination of a star whose right ascension is α and declination δ by μ_a and μ_δ (measured in seconds of arc per year), its radial velocity by ρ (kilometers per second) and its parallax by π (seconds of arc).

Также обозначим собственное движение по прямому восхождению и склонению звезды, прямое восхождение которой α и склонение δ через μ_a и μ_δ (измеряется в секундах дуги в год), ее радиальную скорость как ρ (в километрах в секунду) и параллакс — как π (секунды дуги).

Assuming the directions of ρ, μ_a, and μ_δ through the star as the axes of a system of reference, we have from trigonometry:

Полагая направления ρ, μ_a, и μ_δ через звезды как оси системы отсчета, мы получаем из тригонометрии [следующие соотношения]:

Let δ, the declination of the star, be constant; that is, consider the motions of a band of stars of the same declination but having any value of right ascension, α. Then, since V, V'', δ, δ_a, and α_a are constants, it is seen that μ_a cos δ, μ_δ, and ρ are simple harmonic functions of α.

Пусть δ, склонение звезды, является постоянным; то есть, рассмотрим движения диапазона звезд с одинаковым склонением, имеющим некоторое значение прямое восхождения α. Тогда, поскольку V, V'', δ, δ_a, и α_a являются константами, видим, что μ_a cos δ, μ_δ, и ρ — простые гармонические функции α.

If values of ρ are plotted against α, that is, if the radial velocity of each star is plotted as ordinate and its right ascension as abscissa, then an approximate sine curve will be formed of the type ρ=P_ρ + A_ρ sin (α+φ_ρ), where P_ρ is the “average ordinate” or the displacement of the axis of the curve from the zero line, A_ρ is the amplitude of the curve, and φ_ρ its phase.

Если значения ρ нанесены на график относительно α, то есть, если радиальная скорость каждой звезды отложена по оси ординат и ее прямое восхождение — в качестве абсциссы, то приблизительная синусоида будет иметь вид ρ=P_ρ + A_ρ sin (α+φ_ρ), где P_ρ является «средней ординатой» или смещением оси кривой от нулевой линии, A_ρ амплитудой кривой, и φ_ρ — ее фазой.

These three quantities are represented by:

Similarly, if the curves for μ_a cos δ and μ_δ are drawn, their average ordinates, amplitudes, and phases are:

Эти три величины представлены выражениями:

Аналогичным образом, если построить кривые μ_a cos δ и μ_δ , их средние ординаты, амплитуды и фазы составят:

If, instead of δ, α is made constant; that is, if, instead of using a declination band of stars, a meridian band is used, then from equations (1) and (3) it can be seen that ρ and μ_δ are simple harmonic functions of ρ.

Если, вместо δ, α сделана константой; то есть, если, вместо использования диапазонов склонения звезд, использован диапазон меридианов, тогда из выражений (1) и (3) можно видеть, что ρ и μ_δ — простые гармонические функции ρ.

If curves are plotted, the average ordinates, amplitudes, and phases are, in this case:

Если начертить кривые, то средние ординаты, амплитуды и фазы, в данном случае, будут следующими:

The corresponding meridian band from equation (2) will be a straight line displaced from the axis by:

Соответствующий диапазон меридианов из уравнения (2) будет прямая линия, смещенная от оси на значение:

Method of analysis

Метод анализа

In the actual analysis three curves are drawn with right ascension as abscissa and with ρ, μ_a cos δ, and μ_δ, respectively, as ordinates.

В настоящем анализе показаны три кривые с прямым восхождением в качестве абсциссы и ρ, μ_a cos δ, и μ_δ, соответственно, в качестве ординат.

The stars are grouped in declination bands 10° wide.

Звезды сгруппированы диапазоны склонений размером по 10°.

Corresponding curves for meridian bands one hour wide are drawn.

Показаны соответствующие кривые для диапазонов меридиана.

In practice the scale used was 400 mm for twenty-four hours of right ascension, 2 mm for 1 km per second radial velocity, 2 mm for 0''.0015 proper motion in right ascension, and 1.5 mm for 0''.001 proper motion in declination.

На практике, использованная шкала имела 400 мм для 24 часов прямого восхождения, 2 мм для каждого 1 км в секунду радиальной скорости, 2 мм на каждые 0,0015" собственного движения по прямому восхождению и 1,5 мм для 0.001" собственного движения по склонению.

The average ordinate can be found by obtaining the area in square millimeters, with a planimeter, between the curve and the zero line, from zero to twenty-four hours, and dividing the area by 400 mm, the length of the base.

Средняя ордината может быть найдена получением площади в квадратных миллиметрах, с использованием прибора планиметр, между кривой и нулевой линией, с нуля до двадцати четырех часов, и делением этой площади на 400 мм, длину основания.

The phase and amplitude are obtained by means of the Henrici harmonic analyzer,^76-1 which is a device for finding the coefficients of the Fourier series:
y=A₁ sin (θ+φ₁)+A₂ sin (2θ+φ₂)+A₃ sin (3θ+φ₃) + ...

Фазы и амплитуды получаются с помощью гармонического анализатора Henrici, ^76-1 который представляет собой устройство для нахождения коэффициентов ряда Фурье:
y=A₁ sin (θ+φ₁)+A₂ sin (2θ+φ₂)+A₃ sin (3θ+φ₃) + ...

It is necessary to use only the integrators for the first component, since the theoretical curve is a simple sine curve.^76-2

Необходимо использовать только интеграторы для первого компонента, так как теоретическая кривая представляет собой простую синусоиду. ^76-2

Advantages of method

Преимущества метода

It is possible to plot and analyze the three curves (equations [1] , [2], and [3]) for a declination band of one hundred stars in one afternoon.

Можно построить и проанализировать три кривые (уравнения [1], [2] и [3]) для диапазона склонений ста звезд в один день.

The proper and radial motions are at all times visible on the curves, and discrepancies can be noted and errors corrected quickly and easily.

Собственные и радиальные движения во всех случаях видны на кривых, и расхождения могут быть отмечены и ошибки исправлены быстро и легко.

If a separate determination for a group of stars is desired, this can readily be accomplished by joining the points corresponding to these stars by straight lines and analyzing the resulting curve, a matter of a few minutes’ time.

Если желательно отдельное определение для группы звезд, то это легко может быть достигнуто путем соединения точек, соответствующих этим звездам, прямыми линиями и анализа полученной кривой, что является вопросом времени в несколько минут.

Also, if it is desired to note the effect of omitting any star in the determination, it is evident that it can easily be accomplished.

Кроме того, если желательно выявить эффект, опустив любую звезду в определении, очевидно, что эта задача может быть легко выполнена.

Radial velocity

Радиальная скорость

Proper motion in declination

Собственное движение по склонению

Proper motion in right ascension

Собственное движение по прямому восхождению

Fig. 1.—Declination band, 25°−35°.

Рис. 1. Группа склонений 25 ° − 35 °.

The smooth sine curves have the phase, amplitude, and average ordinate obtained by harmonic analysis of the irregular data curves.

Гладкая синусоидальная кривая имеет фазу, амплитуду и среднюю ординату, полученные из гармонического анализа данных неправильной кривой.

Large discrepancies, which are always present in the data available and which greatly affect the final result when the least-squares solution is employed, have very little effect when the harmonic analyzer is used, especially when the stars are close together in right ascension.

Большие расхождения, которые всегда присутствуют в доступных данных и которые при использовании метода наименьших квадратов значительно влияют на конечный результат, имеют очень слабое влияние, когда используется гармонический анализатор, особенно, если звезды расположены близко друг к другу по прямому восхождению.

If a correction in the form of an additive constant, or of a sine or cosine function of a, is to be applied to the data, as is the case with stars from Boss’s Catalogue, such a correction can be applied to the results of the analyzed curve, without the need of correcting each individual proper motion or radial velocity.

Если коррекция в виде аддитивной постоянной, или из синуса или косинуса функции a, должна быть применена к данным, как в случае со звездами Каталога Босса (Boss’s Catalogue), такая коррекция может быть применена к результатам проанализированой кривой без необходимости коррекции каждого отдельного собственного движения или радиальной скорости.

Some irregularities in the weights of individual observations are likely to occur if the spacing in right ascension is irregular, but a judicious averaging of points can be made which will obviate this to some extent.

Могут наблюдаться некоторые нерегулярности для весов отдельных наблюдений, если расстояние по прямому восхождению нерегулярно, но это может быть устранено, в некоторой степени, разумным усреднением точек.

Other applications of the method

Другие применения метода

The determination of the solar apex is but one of the results which can be obtained from these curves by this method of analysis.

Определение апекса движения Солнца является лишь одним из результатов, которые могут быть получены из этих кривых с помощью этого метода анализа.

Other applications are here suggested.

Здесь предложены другие его применения.

Draw over each data curve the sine curve representing the determined solar motion for that band.

Нарисуем над каждой кривой данных синусоиду, представляющую собой определенный солнечной движение для этого диапазона.

The vertical distance between this sine curve and the points representing the motion of an individual star denote by Δ_ρ, Δ_μ_a, and Δ_μδ; Δ_ρ indicating radial motion, Δ_μ_a and Δ_μδ indicating proper motion in right ascension and declination, respectively, and being considered plus when above the sine curve and minus when below.

Вертикальное расстояние между этой синусоидой и точками, представляющими движение каждой отдельной звезды, обозначим через Δ_ρ, Δ_μ_a и Δ_μδ; Δ_ρ указывает радиальное движение, Δ_μ_a и Δ_μδ указывает собственное движение по прямому восхождению и склонению, соответственно, и рассматривается со знаком плюс над синусоидой и со знаком минус ниже нее.

Thus we are able to get a set of three curves for each declination band from which a general idea of group motion can easily be obtained.

Таким образом, мы можем получить набор из трех кривых для каждого диапазона склонений, из которых может быть легко получена общая идея группового движения.

Stars comparatively near together, whose Δ_ρ are nearly equal and of the same sign, and whose Δ_μ_a and Δ_μδ are of the same sign, may be considered as traveling in a group.

Звезды, расположенные сравнительно недалеко друг от друга, чьи Δ_ρ почти равны и имеют одинаковый знак, и чьи Δ_μ_a и Δ_μδ одного и того же знака, можно рассматривать как перемещающиеся в одной и той же группе.

If the parallax of one star in a group is known, then the ratio between the Δ_μ of this star and the Δ_ρ of another star of unknown parallax in the same group will be equal to the ratio of their parallaxes.

Если параллакс одной звезды в группе известен, то соотношение между Δ_μ этой звезды и Δ_ρ другой звезды с неизвестным параллаксом в этой же группе будет равно отношению их параллаксов.

This is, of course, possible only when observational errors are small.

Это, конечно, возможно только тогда, когда ошибки наблюдений малы.

If the μ_a cos δ and μ_δcurves are analyzed, the solar velocity will be found in seconds of arc, as V".

Если анализируются кривые μ_a cos δ и μ_δ, скорость движения Солнца будет получена в секундах дуги, как V".

In order to reduce this to kilometers per second, the average parallax of the stars must be known.

Для того чтобы преобразовать это значение в километры в секунду, должны быть известны средние параллаксы звезд.

To obtain this, advantage is taken of the properties of the ρ and μ curves of any meridian band.

Чтобы это получить, используются свойства ρ и μ кривых любого диапазона меридианов.

The amplitudes of each, from equations (14) and (17), are in the ratio of V:V".

Их амплитуды, полученные из уравнений (14) и (17), находятся в соотношении V:V".

The curves, in their simplicity of form and ease of analysis, show many further possibilities which cannot be developed here, but which will no doubt be of considerable help in the study of stellar motions.

Кривые, из-за их простоты формы и удобства анализа, показывают многие дополнительные возможности, которые не могут быть подробно рассмотрены здесь, но которые, несомненно, способны в значительной мере помочь в изучении звездных движений.

Solar motion derived from 476 stars

Движение Солнца, полученное для 476 звезд

Material used.

Использованные данные

The material consists of those stars in the Publications of the Dominion Astrophysical Observatory^79-1 whose radial velocities do not exceed 50 km/sec. after being corrected for the solar motion, and whose proper motions do not exceed 0''.5 per year; in all, 476 stars were used.

Исходные данные содержат сведения для тех звезд в публикациях Доминьонской астрофизической обсерватории (Publications of the Dominion Astrophysical Observatory) ^79-1 радиальные скорости которых не превышают 50 км/с после поправки на движения Солнца, и чьи собственные движения не превышает 0,5'' в год; в целом, были использованы данные для 476 звезд.

The proper motions of the stars were obtained from Boss’s Preliminary General Catalogue and were corrected as described on page xxviii of this Catalogue.

Собственные движения звезд были получены из предварительного Общего каталога Босса и были исправлены, как описано на странице XXVIII этого каталога.

Further corrections were applied to the proper motions in declination as recently proposed by Raymond.^79-2

Дальнейшие поправки были применены к собственным движениям для склонения как это недавно было предложено Рэймондом. ^79-2

Method of computation.

Методика вычисления

The stars were arranged in declination bands lying between 0° and 5°, 5° and 15°, 15° and 25°, 25° and 35°, 35° and 45°, 45° and 55°, and 55° and 65°, giving seven bands whose average declinations were 2 ¹/₂°, 10°, 20°, 30°, 40°, 50°, and 60°.

Звезды были сгруппированы в диапазоны склонений, лежащих между 0° и 5°, 5° и 15°, 15° и 25°, 25° и 35°, 35° и 45°, 45° и 55°, и 55° и 65°, всего семь диапазонов, средние слонения которых были равны 2 ¹/₂°, 10°, 20°, 30°, 40°, 50° и 60°.

As the accuracy of the right ascension determined by this method depends on the amplitude of the curve, the amplitude of the curve was used as weight for each individual determination.

Поскольку точность прямому восхождению, определенному с помощью этого метода, зависит от амплитуды кривой, то амплитуда кривой была использована в качестве веса для каждого отдельного определения.

Since the radial velocities contain a constant error K_ρ which would displace the curve vertically, and which, therefore, would appear as a constant error in the P_ρ ’s, the results of the ρ curves were solved to obtain K_ρ, and the values were then corrected.

Так как лучевые скорости содержат постоянную ошибку K_ρ, которая будет смещать кривую вертикально, и которая, таким образом, будет выглядеть как постоянная ошибка P_ρ, результаты кривых ρ расчитывались для получения K_ρ и значения были затем исправлены.

In order properly to weight the determination of δ_a, equations of the following form were used:

Для того, чтобы правильно взвешивать определение δ_a, использовались уравнения следующего вида:

TABLE I Data: Declination Bands

Таблица I данных: диапазоны склонений

Declination Bands	A_ρ	P_ρ	P_ρ Corrected	φ_ρ	a_ρ
0°................	20.0	− 0.1	1.5	345°	285°
10............	22 .3	− 0.5	1.1	19	251
20...............	21.5	+ 1.4	3.0	344	286
30...............	15.8	4.4	6.0	10	260
40...............	18.7	7.1	8.7	351	279
50...............	15.3	8.0	9.6	360	270
60............	7.7	+ 11.8	13.4	4	266

Группы по склонению	A_ρ	P_ρ	P_ρ исправлено	φ_ρ	a_ρ
0 ° ................	20,0	− 0,1	1,5	345°	285°
10............	22,3	− 0,5	1,1	19	251
20...............	21,5	+ 1,4	3,0	344	286
30 ...............	15,8	4,4	6,0	10	260
40 ...............	18,7	7,1	8,7	351	279
50 ...............	15,3	8,0	9,6	360	270
60 ............	7,7	+ 11,8	13,4	4	266

TABLE II Data: Declination Bands

Таблица II данных: диапазоны склонений

Declination Bands	A_μ_a	φ_μ_a	α_μ_a	A_μδ	P_μδ	φ_μδ	α_μδ
0°...................	0.0487	81°	279°	0.0036	0.0284	182°	268°
10................	0.0409	60	300	0.0061	0.0236	196	254
20....................	0.0332	69	291	0.0108	0.0268	168	282
30.....................	0.0349	81	279	0.0230	0.0258	209	241
40.....................	0.0501	90	270	0.0331	0.0315	171	279
50.....................	0.0266	74	286	0.0306	0.0106	194	256
60...............	0.0342	72	288	0.0180	0.0097	186	264

Группы по склонению	A_μ_a	φ_μ_a	α_μ_a	A_μδ	P_μδ	φ_μδ	α_μδ
0°...................	0,0487	81°	279°	0,0036	0,0284	182°	268°
10................	0,0409	60	300	0,0061	0,0236	196	254
20....................	0,0332	69	291	0,0108	0,0268	168	282
30.....................	0,0349	81	279	0,0230	0,0258	209	241
40.....................	0,0501	90	270	0,0331	0.0315	171	279
50.....................	0,0266	74	286	0,0306	0,0106	194	256
60...............	0,0342	72	288	0,0180	0,0097	186	264

Results.

Результаты

Using the material and the method of harmonic analysis as described, the results for the apex and velocity of the solar motion are as follows:

Использование исходных данных и метода гармонического анализа, как описано, дают результат в виде апекса (направления) и скорости солнечного движения следующим образом:

From radial motions alone:
α_a=270°45',
δ_a=31°45',
V= 25.1 km/sec.

Только из радиальных движений:
α_a=270°45',
δ_a=31°45',
V= 25.1 км/с.

From proper motions alone:
α_a=273°00',
δ_a=35°40',
V''= 0''.473.

Только из собственных движений:
α_a=273°00',
δ_a=35°40',
V''= 0''.473.

From radial motions and proper motions combined:
α_a=272°00',
δ_a=33°40',
V= 24.8 km/sec.
π_av= 0''.0092.

Из радиальных движений и собственных движений в сочетании:
α_a=272°00',
δ_a=33°40',
V= 24.8 км/с.
π_av= 0,0092''.

Two sets of meridian curves were drawn, one for 0° and 180°, and the other for 90° and 270°. Each band was 15° wide.

Были выведены два комплекта меридианных кривых, один для 0° и 180°, а другой — для 90° и 270°. Каждый диапазон был 15° в ширину.

The analysis gave A'_ρ/A'_μδ = V/V" = 580, that is, π_av = 0".0082.

Анализ дал A'_ρ/A'_μδ = V/V" = 580, то есть, π_av = 0,0082".

To show the relative accuracy of the harmonic analysis and the least-squares analysis, the p curve for the 60° declination band, consisting of sixty stars, was used, giving by the method of harmonic analysis:

Чтобы показать относительную точность гармонического анализа и метода наименьших квадратов, была использована кривая p для диапазона склонений 60°, содержащего 60 звезд, давая по методу гармонического анализа значения:

α_a = 266°,

δ_a=41°.5 ,

V= 20.5 km/sec.;

while the least-squares method applied to the same set of stars gives:

α_a=256°,

δ_a = 60°,

V=17.3 km/sec.

α_a = 266°,

δ_a=41°.5 ,

V= 20,5 км/с;

в то время как метод наименьших квадратов, примененный к тому же набору звезд, дает:

α_a=256°,

δ_a = 60°,

V = 17,3 км / с.

The most recent and extensive determination of the solar apex, made by Dr. Ralph E. Wilson,^81-1 gives:

α_a=270°.8 , δ_a=27°.1 , V= 19.0 km/sec.,
from which it is seen that the treatment of a group of observations by harmonic analysis gives a result nearer to the values obtained from this study, the most complete which has been made.

Самое последнее и обширное определение апекса движения Солнца, сделанное доктором Ральфом Э. Уилсоном, ^81-1 дает:

α_a=270°.8 , δ_a=27°.1 , V = 19,0 км / с,
из чего видно, что рассмотрение группы наблюдений гармонического анализа дает результат ближе к значениям, полученным из этого исследования, будучи наиболее полным из тех, которые были сделаны.

Some theoretical considerations of the solar motion as determined by ether-drift

Некоторые теоретические соображения движения Солнца, определенные для эфирного ветра

The foregoing investigation is the outcome of the theoretical consideration of the Michelson and Morley ether-drift experiment, as it has been undertaken recently by Professor Dayton C. Miller.^82-1

Проведенное исследование является результатом теоретического рассмотрения эксперимента Майкельсона и Морли по определению эфирного ветра, проведенного недавно профессором Дейтоном К. Миллером. ^82-1

The formulae used in the determination of the solar motion relative to the ether, from observations made by the interferometer, can be derived as follows:

Формулы, используемые при определении относительного движения Солнца и эфира, из наблюдений, сделанных при помощи интерферометра, могут быть получены следующим образом:

The interferometer measures the projection of the apparent relative motion of the earth and of the ether, giving the azimuth A and magnitude v of this projection as functions of the sidereal time.

Интерферометрические измерения проекции видимого относительного движения Земли и эфира дают азимут A и скорость v этой проекции как функции звездного времени.

If α and δ represent the right ascension and declination of the relative motion of the earth and the ether, and V its velocity, we have the familiar equations:

Если α и δ представляют прямое восхождение и склонение относительного движения Земли и эфира, и V его скорость, получим похожие уравнения:

where φ is the latitude of the observatory, z is the zenith distance of the apex, and θ is the sidereal time of the observation.

где φ — широта обсерватории, z — зенитное расстояние апекса, и θ — звездное время наблюдения.

As the observed azimuth and magnitude of the drift are quite independent of each other, each gives a separate determination of the apex.

Поскольку азимут и скорость дрейфа совершенно независимы друг от друга, каждая из этих величин обеспечивает отдельное определение апекса.

Solar apex derived from magnitude of ether-drift.

Апекс движения Солнца, полученный из скорости эфирного ветра

If V and its direction are assumed to be constant throughout a short period of time (about ten days), and φ and δ are positive, equations (20) and (23) show that v is a minimum when t = 0.

Если V и ее направление, как предполагается, являются постоянными на протяжении короткого периода времени (около десяти дней), и φ и δ положительны, уравнения (20) и (23) показывают, что v является минимальной при t = 0.

Therefore we may write:

Поэтому мы можем написать:

If δ ≤ 90° — φ, the maximum value of v occurs when z = 90°, and therefore

so that

or

Если δ ≤ 90° — φ, максимальное значение v появляется при z = 90°, и поэтому

так что

или

If δ >90°–φ, a rough value of δ may be obtained from equation (27), or the maximum value of v occurs when z = 180°–(φ+δ), from which we obtain:

Если δ >90°–φ, приближенное значение δ может быть получено из уравнения (27), или максимальное значение v появляется, когда z = 180°–(φ+δ), откуда получаем:

From the foregoing we observe that if v is plotted against sidereal time, equations (23), (25), (26), (27), and (28) will determine the direction and velocity of the solar system relative to the ether.

Из вышесказанного мы видим, что если v нанесено на график относительно звездного времени, уравнения (23), (25), (26), (27) и (28) определяют направление и скорость движения Солнечной системы относительно эфира.

The theoretical curve for v is

Теоретическая кривая для v представлена выражением

Applying equations (25) and (28) to the observed magnitude of ether-drift (average for April, August, and September, 1925, and February, 1926) as observed by Professor Miller, the direction of the apex was found to be:

α= 252°, δ = 71°,

Применяя уравнения (25) и (28) к наблюдаемой скорости эфирного ветра (в среднем за апрель, август и сентябрь 1925 года и февраль 1926 года), как она наблюдалась профессором Миллером, направление апекса оказалось равным:

α= 252°, δ = 71°,

Solar apex derived from azimuth of ether-drift

Апекс движения Солнца, полученный из азимута эфирного ветра

The azimuth A is measured from the north point, plus toward the east and minus toward the west.

Азимут A измеряется с точки севера, со знаком плюс к востоку и минус — к западу.

Since the interferometer observations cannot distinguish between azimuths 180° apart, we shall consider A numerically less than 90°.

Так как интерферометрические наблюдения не могут отличить азимуты, отстоящие на 180° друг от друга, мы рассмотрим A, численно меньшие, чем 90°.

CASE I, δ ≥ φ

Вариант I, δ ≥ φ

It is clear that when t = 0, v is minimum and A =0°.

Понятно, что при t = 0, v минимальна и A =0°.

As t increases, A becomes negative, and when t becomes equal to twelve hours, A becomes zero again.

При возрастании t, значение A становится отрицательным, и когда t становится равным 12 часам, значение A становится равным нулю снова.

For greater values of t, the azimuth becomes positive.

Для больших значений t азимут становится положительным.

Hence when the azimuth passes from east to west t becomes equal to 0, or θ = α, which corresponds to the place where the curve of azimuth against time crosses the time-axis, when the azimuth passes from a maximum to a minimum.

Следовательно, когда азимут проходит с востока на запад, значение t становится равным 0 или θ = α, что соответствует тому месту, где кривая азимута со временем пересекает временную ось, когда азимут принимает значения от максимума до минимума.

Dividing equation (21) by equation (22) we obtain
A =cot^–1 [–sin φ cot t+tan δ cos φ csc t]. (30)

Разделив уравнение (21) на уравнение (22) получаем
A =cot^–1 [–sin φ cot t+tan δ cos φ csc t].(30)

The maximum value of A is such that
sin A_max = cos δ sec φ.

Максимальное значение А таково, что
sin A_max = cos δ sec φ.

This gives the required value of δ.

Это дает требуемое значение δ.

The average observed azimuth for the four epochs (April, August, and September, 1925, and February, 1926) has for an X-axis (time-axis) a line 62° below the X-axis of equation (30).

Средний наблюдаемый азимут для четырех эпох (апрель, август и сентябрь 1925 г. и февраль 1926 г.) имеет для оси Х (ось времени) линию 62° ниже оси Х уравнения (30).

It was found necessary, therefore, to shift the axis of the observed azimuth 62° (Science, April 30, 1926, p. 10).

Поэтому было признано необходимым сдвинуть ось азимута на 62° (Science, April 30, 1926, p. 10).

With this modification and from the foregoing discussion, the direction of the apex becomes:

α = 255°, δ = 70°.

С этой модификацией и из вышеизложенного, направление апекса имеет вид:

α = 255°, δ = 70°.

The curves for magnitude and azimuth (equations [29] and [30]), while they are not simple sine curves, may be considered as harmonic for not more than three components of the Fourier series.

Кривые для скорости и азимута (уравнения [29] и [30]), в то время как они не являются простыми синусоидальными кривыми, можно рассматривать как гармоники не более чем из трех составляющих ряда Фурье.

These components were found, and the curves were synthesized.^84-1

На основании этих компонентов были синтезированы кривые. ^84-1

Thus α, δ, and V were computed.

Таким образом, были вычислены значения α, δ и V.

CASE II, δ < φ

Вариант II, δ<φ

Here again, when t = 0, A=0°.

И здесь, когда t = 0, A=0°.

As t increases, A receives the following successive values:

0, ... ,90°, –90°, ... , 0°, ... , 90°, ... ,90°, –90°, ... , 0°.

При возрастающей t, A принимает такие последовательные значения:

0, ... ,90°, –90°, ... , 0°, ... , 90°, ... ,90°, –90°, ... , 0°.

Hence when A = 0°, α = θ or α = θ+12^h.

Поэтому, когда A = 0°, α = θ или α = θ+12^ч.

The value of t when A=90° being known, equation (30), will give δ.

Значение t при А = 90° известно, уравнение (30) даст δ.

It is also possible to compute the north-south and east-west components of the magnitude, and thus obtain two sets of curves which correspond respectively to the μ_a and μ curves (equations [2] and [3]) of the first section of this paper.

Кроме того, можно вычислить с севера на юг и с востока на запад компоненты скорости, и таким образом получить два набора кривых, которые соответствуют кривым μ_a и μ (формулы [2] и [3]) в первой части этой статьи.

Their analysis can be made in much the same manner as that of the proper-motion curves.

Их анализ может быть выполнен тем же способом, что и кривых собственного движения [звезд].

The writers are under obligation to Professor Dayton C. Miller for his kindness in making available the apparatus for the harmonic analysis and his inspiration and help in carrying on the work.

Авторы признательны профессору Дейтону К. Миллеру за его любезность в предоставлении аппарата для гармонического анализа и его вдохновение и помощь в проведении этой работы.

Case School of Applied Science July 1926

Кейсовская школа прикладных наук, июль 1926 г.

^74-1 A. S. Eddington, Stellar Movements and the Structure of the Universe, p. 80.

^76-1 O. Henrici, “On a New Harmonic Analysis,” Philosophical Magazine, Vol. 38, 1894.

^76-2 D. C. Miller, “The Henrici Harmonic Analyzer,” Journal of the Franklin Institute, September, 1916.

^79-1 “The Radial Velocities of 594 Stars,” op. cit., 2, No. 1

^79-2 H. Raymond, “The Correction to the Declination System of Boss’s Preliminary General Catalogue,” Astronomical Journal, 36, 17−18, 1925.

^81-1 “The Solar Motion Problem,” ibid.

^82-1 “Significance of the Ether-Drift Experiment of 1925 at Mount Wilson,” Science, April 30, 1926.

^84-1 D. C. Miller, “A 32-Element Harmonic Synthesizer,” Journal of the Franklin Institute (January, 1916), pp. 51–81.

Nassau, J. J.; Morse, P. M. “A Study of Solar Motion by Harmonic Analysis” // Astrophysical Journal, vol. 65, p.73 (March 1927) (PDF)