![]() | ![]() |
255 где W - энергия системы; U - потенциальная энергия системы как функция местонахождения частицы; т - масса частицы. Для одной оси волновое уравнение приобретает вид: d 2у/ 8л2т -----[W-U(x)]y/ = О, (7.2) dx2 h2 отражающий собой амплитуду колебаний функции. Для осциллятора потенциальная энергия определяется выражением 1 U(x) = — к х2 = 2п2т\)2 х2. (7.3) 2 Здесь о - частота колебаний; к = 4л2тх> - коэффициент упругости системы. Обозначив \=8n2mW/h; a = 4n2mx>/h, (7.4) получим d2yt (к - а2х2) у/ = 0. (7.5) dx2 Решая (6.5), получаем: 1 1 к = (п + — )2а; U=(n+ —) 1т; п = 0,1,2..., (7.6) 2 2 что физически означает спектр некоторых устойчивых колебаний в пространстве и во времени. Нужно отметить, что спектр устойчивых колебаний характерен не только для волнового уравнения в форме (7.2). Например, для струны, закрепленной на концах, имеем [35]: д2и ди2 = с2 -; и = 0 при х = 0; х = 1. (7.7) dt2 dx2 | 256 Решение этого уравнения имеет следующий вид: п knct кпх и = 2 Hkcos sin -, (7.8) к= 1 / / где 2 / knz Ак= — \f(z) sin dz. (7.9) I I Здесь I - дайна струны; / (x) - распределение начальных возмущений вдоль струны. Таким образом, физически близкие системы описываются разными по форме выражениями, дающими практически одни и те же решения. Некоторые авторы обратили внимание на возможность гидромеханической трактовки уравнений квантовой механики. Помимо рассмотренной выше трактовки (//-функции как массовой плотности среды, предложенной Эддингтоном [33, 34], исследования этого вопроса были выполнены также Маделунгом [36] и Бомом [37]. Маделунг после подстановки временного фактора в уравнение Шредингера получил: 8 п2т 4пт ду/ у/---Uy/—i---= 0. (7.10) h2 Полагая далее ip у/ = ае , он нашел h dt %n2mU 4пт sp А а - a(grad/T)2---+--а-= 0; (7.11) (7.12) И2 h dt 4пт да а Ар + 2(grad agrad/i)----= 0. h dt (7.13) О |