255
где W - энергия системы; U - потенциальная энергия системы как функция местонахождения частицы; т - масса частицы.
Для одной оси волновое уравнение приобретает вид:
d 2у/ 8л2т
-----[W-U(x)]y/ = О, (7.2)
dx2 h2
отражающий собой амплитуду колебаний функции.
Для осциллятора потенциальная энергия определяется выражением
1
U(x) = — к х2 = 2п2т\)2 х2. (7.3)
2
Здесь о - частота колебаний; к = 4л2тх> - коэффициент упругости системы. Обозначив
\=8n2mW/h; a = 4n2mx>/h, (7.4)
получим
d2yt
(к - а2х2) у/ = 0. (7.5)
dx2
Решая (6.5), получаем:
1 1
к = (п + — )2а; U=(n+ —) 1т; п = 0,1,2..., (7.6)
2 2
что физически означает спектр некоторых устойчивых колебаний в пространстве и во времени.
Нужно отметить, что спектр устойчивых колебаний характерен не только для волнового уравнения в форме (7.2). Например, для струны, закрепленной на концах, имеем [35]:
д2и ди2
= с2 -; и = 0 при х = 0; х = 1. (7.7)
dt2 dx2
256
Решение этого уравнения имеет следующий вид:
п knct кпх
и = 2 Hkcos sin -,
(7.8)
к= 1
/
/
где
2 / knz
Ак= — \f(z) sin dz.
(7.9)
I
I
Здесь I - дайна струны; / (x) - распределение начальных возмущений вдоль струны.
Таким образом, физически близкие системы описываются разными по форме выражениями, дающими практически одни и те же решения.
Некоторые авторы обратили внимание на возможность гидромеханической трактовки уравнений квантовой механики. Помимо рассмотренной выше трактовки (//-функции как массовой плотности среды, предложенной Эддингтоном [33, 34], исследования этого вопроса были выполнены также Маделунгом [36] и Бомом [37].
Маделунг после подстановки временного фактора в уравнение Шредингера получил:
8 п2т
4пт
ду/
у/---Uy/—i---= 0.
(7.10)
h2
Полагая далее ip
у/ = ае , он нашел
h
dt
%n2mU
4пт
sp
А а - a(grad/T)2---+--а-= 0;
(7.11)
(7.12)
И2
h
dt
4пт да
а Ар + 2(grad agrad/i)----= 0.
h
dt
(7.13)
О